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亚太数学奥林匹克 · 2008年

试题

  1. 第1题设三角形 ABCABC 满足 ∠A<60∘\angle A<60^\circ。设 XX 和 YY 分别为边 ABAB 和 ACAC 上的点，且满足 CA+AX=CB+BXCA+AX=CB+BX 及 BA+AY=BC+CYBA+AY=BC+CY。设平面上的点 PP 使直线 PXPX 和 PYPY 分别垂直于 ABAB 和 ACAC。证明 ∠BPC<120∘\angle BPC<120^\circ。解法: 1
  2. 第2题一个班的学生组成若干组，每组恰有三名成员，且任意两个不同的组至多有一名共同成员。证明当班级人数为 46 时，存在一个含 10 名学生的集合，其中没有一个组被真包含。解法: 1
  3. 第3题设 Γ\Gamma 是三角形 ABCABC 的外接圆。一圆经过点 AA 和点 CC，并分别与边 BCBC 和边 BABA 交于 DD 和 EE。直线 ADAD 和 CECE 分别再次与 Γ\Gamma 交于 GG 和 HH。Γ\Gamma 在 AA 处和 CC 处的切线分别与直线 DEDE 交于 LL 和 MM。证明直线 LHLH 与 MGMG 的交点在 Γ\Gamma 上。解法: 1
  4. 第4题考虑函数 f:N0→N0f:\mathbb N_0\to\mathbb N_0，其中 N0\mathbb N_0 是所有非负整数的集合，定义为 f(0)=0f(0)=0，且对所有 n≥0n\ge0 有 f(2n)=2f(n)f(2n)=2f(n)、f(2n+1)=n+2f(n)f(2n+1)=n+2f(n)。(a) 求三集合 L={n∣f(n)<f(n+1)}L=\{n\mid f(n)<f(n+1)\}、E={n∣f(n)=f(n+1)}E=\{n\mid f(n)=f(n+1)\} 和 G={n∣f(n)>f(n+1)}G=\{n\mid f(n)>f(n+1)\}。(b) 对每个 k≥0k\ge0，用 kk 表示 ak=max⁡{f(n):0≤n≤2k}a_k=\max\{f(n):0\le n\le2^k\}。解法: 1
  5. 第5题设整数 a,b,ca,b,c 满足 0<a<c−10<a<c-1 且 1<b<c1<b<c。对每个 kk，0≤k≤a0\le k\le a，令 rkr_k 为 kbkb 除以 cc 的余数，0≤rk<c0\le r_k<c。证明集合 {r0,r1,r2,…,ra}\{r_0,r_1,r_2,\ldots,r_a\} 与 {0,1,2,…,a}\{0,1,2,\ldots,a\} 不同。解法: 1