亚太数学奥林匹克 · 2025年

试题

第1题设 $ABC$ 为内接于圆 $\Gamma$ 的锐角三角形。设 $A_1$ 为 $A$ 到 $BC$ 的正投影，使 $AA_1$ 为高。设 $B_1$ 与 $C_1$ 分别为 $A_1$ 到 $AB$ 与 $AC$ 的正投影。点 $P$ 使四边形 $AB_1PC_1$ 为凸四边形且与三角形 $ABC$ 面积相等。是否可能 $P$ 严格位于圆 $\Gamma$ 的内部？请说明理由。解法: 1
第2题设 $\alpha$ 、 $\beta$ 为正实数。Emerald 在坐标平面中从原点 $(0,0)$ 出发进行一次旅行。每分钟她向上移动一个单位或向右移动一个单位，并将自己限制在坐标平面的区域 $|x-y|<2025$ 内。当她到达点 $(x,y)$ 时，就在该点写下整数 $\lfloor x\alpha+y\beta\rfloor$ 。结果发现 Emerald 恰好把每个非负整数都写了一次。求所有使这样的旅行成为可能的数对 $(\alpha,\beta)$ 。解法: 1
第3题设 $P(x)$ 为整系数非常数多项式，且 $P(0)\neq0$ 。设 $a_1,a_2,a_3,\ldots$ 为一无穷整数数列，使得对任意不同的正整数 $i,j$ ， $P(i-j)$ 都整除 $a_i-a_j$ 。证明数列 $a_1,a_2,a_3,\ldots$ 必为常数，即对每个正整数 $n$ ， $a_n$ 都等于某个常数 $c$ 。解法: 1
第4题设 $n\ge 3$ 为整数。圆周上有 $n$ 个格子，每个格子赋值为 0 或 1，一只公鸡位于其中一个格子。反复进行如下操作：若公鸡位于赋值 0 的格子，就把该数改为 1，并逆时针移动到下一个格子；若公鸡位于赋值 1 的格子，就把该数改为 0，并逆时针跳过一个格子移动到下下个格子。证明经过充分多次操作后，每当公鸡位于格子 $C$ ，它恰好绕圆周三周并再次停在 $C$ ，且每个格子的数都与这三周开始之前的数相同。解法: 1
第5题考虑一个正整数无限数列 $a_1,a_2,\ldots$ ，满足对所有正整数 $m,n$ 且 $m\le n$ ， $100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n)$ 都是 $a_{n-m+1}a_{n+m}$ 的倍数。证明该数列要么有界，要么是线性的。若存在常数 $N$ 使对每个正整数 $n$ 都有 $a_n<N$ ，则称数列有界；若对每个正整数 $n$ 都有 $a_n=n\cdot a_1$ ，则称数列是线性的。解法: 1