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亚太数学奥林匹克 · 2026年

试题

  1. 第1题求所有满足 o≥2o \ge 2 的正整数四元组 (a,p,m,o)(a, p, m, o)，使得 a!+p!=mo+26a! + p! = m^o + 26。解法: 1
  2. 第2题设 n≥2n \ge 2 为整数。将某个 nn 元集合的全部 2n2^n 个子集按某种顺序记为 A1,A2,…,A2nA_1, A_2, \dots, A_{2^n}。证明： ∣A1∖A2∣+∣A2∖A3∣+⋯+∣A2n−1∖A2n∣+∣A2n∖A1∣≥2n−2.|A_1\setminus A_2| + |A_2\setminus A_3| + \cdots + |A_{2^n-1}\setminus A_{2^n}| + |A_{2^n}\setminus A_1| \ge 2^{n-2}.解法: 1
  3. 第3题记 R+\mathbb{R}_+ 为全体正实数组成的集合。求所有函数 f:R+→Rf:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}，使得对任意 x,y,z∈R+x,y,z\in\mathbb{R}_+，都有 ∣x−y∣<∣y−z∣ if and only if ∣f(x)−f(y)∣<∣f(y)−f(z)∣.|x-y|<|y-z|\ \text{if and only if}\ |f(x)-f(y)|<|f(y)-f(z)|.解法: 1
  4. 第4题设 ABCDABCD 是有内切圆 ω\omega（圆心为 II）的四边形。对角线 ACAC 与 BDBD 交于 EE。设 JJ 为三角形 ABDABD 的内心。射线 EJEJ 的延长线与 ω\omega 交于 PP。证明 PI⊥BDPI\perp BD。解法: 1
  5. 第5题设 nn 为正整数。有 n(n+1)n(n+1) 个房间排成一个 (n+1)×n(n+1)\times n 的方格阵。每两个相邻房间之间有一扇门。求选取一个门的子集并将其锁上的方法数，使得存在两个房间 SS 与 GG 满足： (i) SS 在第一行，GG 在第 (n+1)(n+1) 行。 (ii) 只用未锁的门就能从 SS 到达 GG。解法: 1