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第7题

四面体 SABCSABC 具有如下性质:存在五个球,每个球都与棱 SA,SB,SC,BC,CA,ABSA,SB,SC,BC,CA,AB 或它们的延长线相切。(a) 证明四面体 SABCSABC 是正四面体。(b) 反之,证明每个正四面体都存在这样的五个球。
第 1/6 步:选取最小球及其棱上切点
PSA,PSB,PSC,PBC,PCA,PAB=tangency points of the smallest sphereP_{SA},P_{SB},P_{SC},P_{BC},P_{CA},P_{AB}=\text{tangency points of the smallest sphere}
详细分析

在 (a) 中,选取五个球中最小的一个。记它在六条棱所在直线 SA,SB,SC,BC,CA,ABSA,SB,SC,BC,CA,AB 上的切点分别为 PSA,PSB,PSC,PBC,PCA,PABP_{SA},P_{SB},P_{SC},P_{BC},P_{CA},P_{AB}。