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第7题

四面体 SABCSABC 具有如下性质：存在五个球，每个球都与棱 SA,SB,SC,BC,CA,ABSA,SB,SC,BC,CA,AB 或它们的延长线相切。(a) 证明四面体 SABCSABC 是正四面体。(b) 反之，证明每个正四面体都存在这样的五个球。
第 2/6 步：使用面 ABC 内切圆截面
上一步下一步
∣APAB∣=∣APAC∣,∣BPBC∣=∣BPBA∣,∣CPCA∣=∣CPCB∣in △ABC|AP_{AB}|=|AP_{AC}|,\quad |BP_{BC}|=|BP_{BA}|,\quad |CP_{CA}|=|CP_{CB}|\quad\text{in }\triangle ABC
详细分析

每个面截最小球所得圆与该面的三条棱所在直线相切，因而是该三角形面的内切圆。在 △ABC\triangle ABC 中，从同一顶点引出的切线长相等，所以 ∣APAB∣=∣APAC∣|AP_{AB}|=|AP_{AC}|、∣BPBC∣=∣BPBA∣|BP_{BC}|=|BP_{BA}|、∣CPCA∣=∣CPCB∣|CP_{CA}|=|CP_{CB}|。