第7题

四面体

SABC

具有如下性质：存在五个球，每个球都与棱

SA,SB,SC,BC,CA,AB

或它们的延长线相切。(a) 证明四面体

SABC

是正四面体。(b) 反之，证明每个正四面体都存在这样的五个球。

第 3/6 步：与三条棱上的大球比较

上一步下一步

|AP_{AB}|=|BP_{AB}|,\quad |BP_{BC}|=|CP_{BC}|,\quad |CP_{CA}|=|AP_{CA}|

详细分析

对于棱 $AB$ ，与 $AB$ 以及 $CA,CB$ 的延长线相切的大球的截面，属于同一个也与 $CS$ 的延长线相切的球。由于这个大圆和内切圆共用切线 $AB$ ，它们在 $AB$ 上的切点必须重合，从而有 $|AP_{AB}|=|BP_{AB}|$ 。对 $BC$ 和 $CA$ 作同样的论证，得到另外两个等式。