第7题

四面体

SABC

具有如下性质：存在五个球，每个球都与棱

SA,SB,SC,BC,CA,AB

或它们的延长线相切。(a) 证明四面体

SABC

是正四面体。(b) 反之，证明每个正四面体都存在这样的五个球。

第 4/6 步：推出面 ABC 为等边三角形

|AP_{AB}|=|AP_{AC}|=|BP_{BC}|=|BP_{BA}|=|CP_{CA}|=|CP_{CB}|\Longrightarrow AB=BC=CA

详细分析

合并内切圆给出的三个等式与大球给出的三个等式，所列六个切线段全相等。 $\triangle ABC$ 的每条边都是其两端相等切线段之和，所以 $AB=BC=CA$ ，即 $\triangle ABC$ 为等边三角形。