第7题

四面体

SABC

具有如下性质：存在五个球，每个球都与棱

SA,SB,SC,BC,CA,AB

或它们的延长线相切。(a) 证明四面体

SABC

是正四面体。(b) 反之，证明每个正四面体都存在这样的五个球。

第 5/6 步：把同一论证用于四个面

AB=BC=CA,\quad AB=BS=AS,\quad AS=SC=AC,\quad SB=BC=SC

详细分析

同样的构造应用于各面 $ABS$ 、 $ASC$ 和 $SBC$ ，分别得到 $AB=BS=AS$ 、 $AS=SC=AC$ 和 $SB=BC=SC$ 。因此，四个面都是等边三角形，所以 $SABC$ 是正四面体。