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第7题

四面体 SABCSABC 具有如下性质：存在五个球，每个球都与棱 SA,SB,SC,BC,CA,ABSA,SB,SC,BC,CA,AB 或它们的延长线相切。(a) 证明四面体 SABCSABC 是正四面体。(b) 反之，证明每个正四面体都存在这样的五个球。
第 6/6 步：展示正四面体的五个球
上一步下一步
rcenter=33rc,router=3rcr_{\mathrm{center}}=\frac{\sqrt3}{3}r_c,\qquad r_{\mathrm{outer}}=\sqrt3r_c
详细分析

在 (b) 中，将正四面体中心置于原点，外接半径为 rcr_c。中心球半径为 rcenter=3rc/3r_{\mathrm{center}}=\sqrt3r_c/3；直接计算原点到六条棱所在直线的距离可知均为此值。对四个面中的每一个，在过对面并指向外的法线上放置一个全等外球；同样的坐标计算给出半径 router=3rcr_{\mathrm{outer}}=\sqrt3r_c，并由对称性与六条棱的延长线都相切。因此得到一个中心球和四个外球。