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第1题

求区间 0≤x≤2pi0 \le x \le 2\\pi 内满足 2cosx≤∣sqrt1+sin2x−sqrt1−sin2x∣≤sqrt22\\cos x \le |\\sqrt{1+\\sin 2x}-\\sqrt{1-\\sin 2x}| \le \\sqrt{2} 的所有 xx。
第 1/4 步：平方化根式差
上一步下一步
通俗地说

根式只隐藏了符号选择，平方后就显出二倍角余弦。

y=∣sqrt1+sin2x−sqrt1−sin2x∣,qquady2=2−2sqrt1−sin22x=2−2∣cos2x∣.y=|\\sqrt{1+\\sin 2x}-\\sqrt{1-\\sin 2x}|,\\qquad y^2=2-2\\sqrt{1-\\sin^2 2x}=2-2|\\cos 2x|.
第一个边界角处的单位圆
标出角 $\\pi/4$ 的单位圆，这是符号区间改变的位置。
详细分析

两个被开方数均非负。平方绝对值差后出现 ∣cos2x∣|\\cos 2x|，因此只需按 cos2x\\cos 2x 的符号分类。