第1题

求区间

0 \le x \le 2\\pi

内满足

2\\cos x \le |\\sqrt{1+\\sin 2x}-\\sqrt{1-\\sin 2x}| \le \\sqrt{2}

的所有

x

。

第 3/4 步：检查余弦非负的区间

\\cos 2x\\ge0:\\quad x\\in[0,\\pi/4]\\cup[3\\pi/4,5\\pi/4]\\cup[7\\pi/4,2\\pi].

详细分析

此时第一不等式变为 $\\cos x\\le|\\sin x|$ 。在第一个区间只在端点 $\\pi/4$ 成立，在最后一个区间只在 $7\\pi/4$ 成立，而在中间的 $[3\\pi/4,5\\pi/4]$ 全部成立。上界 $2|\\sin x|\\le\\sqrt2$ 也在中间区间全部成立。