第2题

考虑方程组

a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0

、

a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0

、

a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0

。对角系数

a_{11},a_{22},a_{33}

为正，其余系数为负，并且每个方程的系数之和为正。证明该方程组只有解

x_1=x_2=x_3=0

。

第 1/4 步：改写行和条件

通俗地说

对角项的强度超过两个相反项的合计。

a_{ii}>0,\\quad a_{ij}<0\\ (i\ne j),\\quad a_{ii}+a_{ij}+a_{ik}>0\\Longrightarrow a_{ii}>|a_{ij}|+|a_{ik}|.

详细分析

第 $i$ 行的两个非对角元素为负。因此行和为正恰好等价于严格对角占优不等式 $a_{ii}>|a_{ij}|+|a_{ik}|$ 。