第2题

考虑方程组

a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0

、

a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0

、

a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0

。对角系数

a_{11},a_{22},a_{33}

为正，其余系数为负，并且每个方程的系数之和为正。证明该方程组只有解

x_1=x_2=x_3=0

。

第 3/4 步：矛盾于相消

|a_{11}x_1|> |a_{12}x_2|+|a_{13}x_3|.

详细分析

由严格对角占优和最大性， $a_{11}|x_1|>(|a_{12}|+|a_{13}|)|x_1|\\ge |a_{12}x_2|+|a_{13}x_3|$ 。因此第一方程不可能相加为零，与其为方程组的解矛盾。