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国际数学奥林匹克
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1965年
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第2题
第2题
考虑方程组
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
0
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
0
、
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
=
0
a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
=
0
、
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
=
0
a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
=
0
。对角系数
a
11
,
a
22
,
a
33
a_{11},a_{22},a_{33}
a
11
,
a
22
,
a
33
为正，其余系数为负，并且每个方程的系数之和为正。证明该方程组只有解
x
1
=
x
2
=
x
3
=
0
x_1=x_2=x_3=0
x
1
=
x
2
=
x
3
=
0
。
第 4/4 步：完成零情形
上一步
下一步
x
1
=
0
L
o
n
g
r
i
g
h
t
a
r
r
o
w
x
2
=
x
3
=
0.
x_1=0\\Longrightarrow x_2=x_3=0.
x
1
=
0
L
o
n
g
r
i
g
h
t
a
r
r
o
w
x
2
=
x
3
=
0.
详细分析
矛盾排除了所有非零解。因此三个坐标全为零，
x
1
=
x
2
=
x
3
=
0
x_1=x_2=x_3=0
x
1
=
x
2
=
x
3
=
0
是唯一解。
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