MathLabs

第3题

给定四面体 ABCDABCD，其中对边 ABAB 和 CDCD 的长度分别为 aa 和 bb。两条异面直线的距离为 dd，夹角为 θ\theta。一个同时平行于 ABAB 和 CDCD 的平面将四面体分成两个立体。该平面到 ABAB、CDCD 的距离之比为 kk。求所得两个立体的体积比。
第 1/5 步：求截面的共同比例
上一步下一步
通俗地说

平行截面在每条棱上保持同一个仿射缩放因子。

AXXD=BYYD=BZZC=AWWC=k1,qquadAXAD=kk+1.\frac{AX}{XD}=\frac{BY}{YD}=\frac{BZ}{ZC}=\frac{AW}{WC}=\frac{k}{1},\\qquad \frac{AX}{AD}=\frac{k}{k+1}.
平行平面构型中的四面体
半透明三维四面体图，展示考虑平行于两条对棱的平面时的空间构型。
详细分析

设平面与 AD,BD,BC,ACAD,BD,BC,AC 分别交于 X,Y,Z,WX,Y,Z,W。由于平面平行于两条对边，横截线上的距离线性变化；由给定距离比得 AX:XD=k:1AX:XD=k:1。从相应顶点出发的每条棱上都有相同比例。