第3题

给定四面体

ABCD

，其中对边

AB

和

CD

的长度分别为

a

和

b

。两条异面直线的距离为

d

，夹角为

\theta

。一个同时平行于

AB

和

CD

的平面将四面体分成两个立体。该平面到

AB

、

CD

的距离之比为

k

。求所得两个立体的体积比。

第 3/5 步：计算棱柱状立体

上一步下一步

V_{WXPBYZ}=\frac{3k^2}{(k+1)^3}V.

详细分析

底面三角形 $BYZ$ 与 $BCD$ 相似，面积比例为 $k^2/(k+1)^2$ 。该棱柱状体的高是从 $A$ 到 $BCD$ 的高的 $1/(k+1)$ 。由 $V=Bh/3$ 得 $V_{WXPBYZ}=3k^2V/(k+1)^3$ 。