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国际数学奥林匹克
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1965年
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第3题
第3题
给定四面体
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，其中对边
A
B
AB
A
B
和
C
D
CD
C
D
的长度分别为
a
a
a
和
b
b
b
。两条异面直线的距离为
d
d
d
，夹角为
θ
\theta
θ
。一个同时平行于
A
B
AB
A
B
和
C
D
CD
C
D
的平面将四面体分成两个立体。该平面到
A
B
AB
A
B
、
C
D
CD
C
D
的距离之比为
k
k
k
。求所得两个立体的体积比。
第 4/5 步：相加两部分
上一步
下一步
V
A
B
W
X
Y
Z
=
V
A
P
W
X
+
V
W
X
P
B
Y
Z
=
k
3
+
3
k
2
(
k
+
1
)
3
V
=
k
2
(
k
+
3
)
(
k
+
1
)
3
V
.
V_{ABWXYZ}=V_{APWX}+V_{WXPBYZ}=\frac{k^3+3k^2}{(k+1)^3}V=\frac{k^2(k+3)}{(k+1)^3}V.
V
A
B
W
X
Y
Z
=
V
A
P
W
X
+
V
W
X
P
B
Y
Z
=
(
k
+
1
)
3
k
3
+
3
k
2
V
=
(
k
+
1
)
3
k
2
(
k
+
3
)
V
.
详细分析
原截面
A
B
AB
A
B
一侧的部分为
A
B
W
X
Y
Z
ABWXYZ
A
B
W
X
Y
Z
，恰好由
A
P
W
X
APWX
A
P
W
X
与
W
X
P
B
Y
Z
WXPBYZ
W
X
P
B
Y
Z
组成。相加两个体积即得它占总体积
V
V
V
的比例。
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