第3题

给定四面体

ABCD

，其中对边

AB

和

CD

的长度分别为

a

和

b

。两条异面直线的距离为

d

，夹角为

\theta

。一个同时平行于

AB

和

CD

的平面将四面体分成两个立体。该平面到

AB

、

CD

的距离之比为

k

。求所得两个立体的体积比。

第 5/5 步：求取比值

上一步下一步

V_{other}=V-V_{ABWXYZ}=\frac{3k+1}{(k+1)^3}V\\quad\Longrightarrow\\quad V_{ABWXYZ}:V_{other}=k^2(k+3):(3k+1).

详细分析

用总体积减去已算部分即可得到另一部分。约去公因子 $V/(k+1)^3$ ，得到所求比 $k^2(k+3):(3k+1)$ ；长度 $a,b$ 、距离 $d$ 和角 $\theta$ 不影响结果。