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第6题

在平面上给定 nn 个点，nge3n\\ge3，并连接每一对点。设最长线段的长度为 dd。长度为 dd 的连接线段称为直径。证明直径的条数至多为 nn。
第 1/4 步：证明相交引理
上一步下一步
通俗地说

最长弦不能彼此分离，因为某条交叉连接会变得更长。

PQ=RS=d,quadPQcapRS=varnothingLongrightarrowsome cross-distance is >d.PQ=RS=d,\\quad PQ\\cap RS=\\varnothing\\Longrightarrow\text{some cross-distance is }>d.
详细分析

假设直径 PQPQ 与 RSRS 互不相交。在端点 QQ，若 QPQP 与 QRQR 的夹角不小于 90∘90^\circ，由余弦定理得 PR>dPR>d，故该角为锐角。对四个端点同理，四边形四角均锐，不可能。因此任意两条直径必相交或共享端点。