国际数学奥林匹克 · 1967年

试题

第1题设平行四边形 $ABCD$ 满足 $AB=a$ 、 $AD=1$ 、 $\angle BAD=\alpha$ 。若 $\triangle ABD$ 为锐角，证明以 $A,B,C,D$ 为圆心、半径为 $1$ 的四个圆覆盖该平行四边形，当且仅当 $a\le\cos\alpha+\sqrt3\sin\alpha$ 。解法: 1
第2题证明：如果一个四面体恰有一条边长于 $1$ ,那么它的体积不超过 $\frac18$ 。解法: 1
第3题设 $k,m,n$ 为自然数,且 $m+k+1$ 是大于 $n+1$ 的素数。令 $c_s=s(s+1)$ 。证明 $(c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\cdots(c_{m+n}-c_k)$ 能被 $c_1c_2\cdots c_n$ 整除。解法: 1
第4题设 $A_0B_0C_0$ 与 $A_1B_1C_1$ 为任意两个锐角三角形。考虑所有与 $A_1B_1C_1$ 相似且外接于 $A_0B_0C_0$ 的三角形 $ABC$ ,其中 $A_0$ 在 $BC$ 上, $B_0$ 在 $CA$ 上, $C_0$ 在 $AB$ 上。确定并作出面积最大的三角形。解法: 1
第5题设 $a_1,\ldots,a_8$ 为不全为零的实数,并令 $c_n=a_1^n+\cdots+a_8^n$ ( $n=1,2,\ldots$ )。若有无穷多个 $c_n$ 等于 0,求使 $c_n=0$ 的所有 $n$ 。解法: 1
第6题一场体育竞赛在连续 $n$ 天中共发放 $m$ 枚奖牌（ $n>1$ ）。第一天发放一枚及剩余 $m-1$ 枚的 $\frac17$ ；第二天发放两枚及当时剩余奖牌的 $\frac17$ ；依此类推。第 $n$ 天即最后一天发放剩余的 $n$ 枚。求 $m$ 和 $n$ 。解法: 1