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第1题

证明存在无穷多个自然数 aa,使得对每个自然数 nn,n4+an^4+a 都不是素数。
第 3/4 步:检查两个因子
通俗地说

仅有因式分解还不够:合数需要两个非平凡因子,而平方和形式保证了这一点。

n2+2rn+2r2=(n+r)2+r2>1,n2−2rn+2r2=(n−r)2+r2>1n^2+2rn+2r^2=(n+r)^2+r^2>1,\qquad n^2-2rn+2r^2=(n-r)^2+r^2>1
详细分析

两个因子都是平方和。由于 r≥2r\ge2,每个因子都含有 r2≥4r^2\ge4 这一正项,所以对每个自然数 nn 它们都是严格大于 11 的整数。