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第2题

设 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n 为实常数,xx 为实变量,并定义 f(x)=cos⁡(a1+x)+12cos⁡(a2+x)+⋯+12n−1cos⁡(an+x)f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\cdots+\frac1{2^{n-1}}\cos(a_n+x)。已知 f(x1)=f(x2)=0f(x_1)=f(x_2)=0,证明存在整数 mm 使 x2−x1=mπx_2-x_1=m\pi。
第 1/4 步：合并正弦和余弦系数
上一步下一步
通俗地说

所有项的频率相同,所以相位只改变两个系数,不改变频率。

f(x)=Bcos⁡x−Csin⁡x,B=∑j=1n21−jcos⁡aj,C=∑j=1n21−jsin⁡ajf(x)=B\cos x-C\sin x,\quad B=\sum_{j=1}^n2^{1-j}\cos a_j,\quad C=\sum_{j=1}^n2^{1-j}\sin a_j
详细分析

逐项使用 cos⁡(aj+x)=cos⁡ajcos⁡x−sin⁡ajsin⁡x\cos(a_j+x)=\cos a_j\cos x-\sin a_j\sin x。于是该加权和写成 f(x)=Bcos⁡x−Csin⁡xf(x)=B\cos x-C\sin x,其中 B,CB,C 与 xx 无关。