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第2题

设 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n 为实常数,xx 为实变量,并定义 f(x)=cos⁡(a1+x)+12cos⁡(a2+x)+⋯+12n−1cos⁡(an+x)f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\cdots+\frac1{2^{n-1}}\cos(a_n+x)。已知 f(x1)=f(x2)=0f(x_1)=f(x_2)=0,证明存在整数 mm 使 x2−x1=mπx_2-x_1=m\pi。
第 2/4 步：证明正弦波不是零函数
上一步下一步
通俗地说

第一项的权重大于后面所有项可能产生的负贡献总和。

f(−a1)≥1−∑j=2n21−j=21−n>0f(-a_1)\ge1-\sum_{j=2}^n2^{1-j}=2^{1-n}>0
详细分析

取 x=−a1x=-a_1,第一项余弦为 11。其余余弦都至少为 −1-1,而其余权重之和为 1−21−n1-2^{1-n}。因此 f(−a1)≥21−n>0f(-a_1)\ge2^{1-n}>0,所以 BB 和 CC 不会同时为零。