第2题

设

a_1,a_2,\ldots,a_n

为实常数,

x

为实变量,并定义

f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\cdots+\frac1{2^{n-1}}\cos(a_n+x)

。已知

f(x_1)=f(x_2)=0

,证明存在整数

m

使

x_2-x_1=m\pi

。

第 3/4 步：写成一个平移余弦

通俗地说

同频率的正弦和余弦线性组合就是水平平移后的一个余弦。

R=\sqrt{B^2+C^2}>0,\qquad f(x)=R\cos(x+\delta)

详细分析

取 $\delta$ 满足 $\cos\delta=B/R$ 且 $\sin\delta=C/R$ 。则 $R\cos(x+\delta)=B\cos x-C\sin x=f(x)$ ,并且由上一步知振幅 $R$ 为正。