第2题

设

a_1,a_2,\ldots,a_n

为实常数,

x

为实变量,并定义

f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\cdots+\frac1{2^{n-1}}\cos(a_n+x)

。已知

f(x_1)=f(x_2)=0

,证明存在整数

m

使

x_2-x_1=m\pi

。

第 4/4 步：比较零点

通俗地说

余弦的零点每隔半圈出现一次,间隔正是 $\pi$ 的整数倍。

\cos(x_i+\delta)=0\Rightarrow x_i+\delta=\frac\pi2+k_i\pi\quad(i=1,2),\qquad x_2-x_1=(k_2-k_1)\pi

单位圆标出四分之一转处的余弦零点。

详细分析

由于 $R>0$ ,由题设得 $i=1,2$ 时 $\cos(x_i+\delta)=0$ 。余弦的零点为 $\frac\pi2+k\pi$ ,相减两式即得 $x_2-x_1=(k_2-k_1)\pi$ 。