第3题

对每个

k=1,2,3,4,5

,求

a>0

的必要充分条件,使得存在一个四面体,其中

k

条边长为

a

,其余

6-k

条边长为

1

。

第 1/5 步：处理一条和五条长边

上一步下一步

通俗地说

铰接两个刚性三角形会使一个距离连续变化,而共面的情形正是被排除的退化端点。

0<a<\sqrt3\quad(k=1),\qquad a>\frac1{\sqrt3}\quad(k=5)

四个顶点、六条边的四面体示意图;题目中的边长并不按图中比例。

详细分析

当 $k=1$ 时,设唯一的 $a$ 边为 $AB$ ,让两个单位正三角形 $ACD$ 和 $BCD$ 绕 $CD$ 作铰链运动。在非退化位置, $AB$ 严格介于 $0$ 与 $\sqrt3$ 之间,故 $0<a<\sqrt3$ 。交换 $a$ 与 $1$ 的角色并按 $1/a$ 缩放得到 $k=5$ : $1/a<\sqrt3$ ,即 $a>1/\sqrt3$ 。