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第3题

对每个 k=1,2,3,4,5k=1,2,3,4,5,求 a>0a>0 的必要充分条件,使得存在一个四面体,其中 kk 条边长为 aa,其余 6−k6-k 条边长为 11。
第 2/5 步：分析两条长边
上一步下一步
通俗地说

两条特殊边的组合位置很重要:相邻和相对给出不同范围,最后取并集。

2−3<a<2+3(adjacent a-edges),0<a<2(opposite a-edges)\sqrt{2-\sqrt3}<a<\sqrt{2+\sqrt3}\quad\text{(adjacent $a$-edges)},\qquad 0<a<\sqrt2\quad\text{(opposite $a$-edges)}
详细分析

若两条 aa 边有公共顶点,让两个单位三角形绕对面的单位边作铰链运动。两个共面极限为 2−3\sqrt{2-\sqrt3} 与 2+3\sqrt{2+\sqrt3},故其间的开区间均可实现。若两条 aa 边相对,圆轨迹论证给出 0<a<20<a<\sqrt2。所以 k=2k=2 的并集条件为 0<a<2+30<a<\sqrt{2+\sqrt3}。