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第3题

对每个 k=1,2,3,4,5k=1,2,3,4,5,求 a>0a>0 的必要充分条件,使得存在一个四面体,其中 kk 条边长为 aa,其余 6−k6-k 条边长为 11。
第 3/5 步：处理互补的四条边情形
上一步下一步
通俗地说

把所有长度换成倒数就交换了 aa 边与单位边的角色。

0<a<2+3(k=2),a>12+3=2−3(k=4)0<a<\sqrt{2+\sqrt3}\quad(k=2),\qquad a>\frac1{\sqrt{2+\sqrt3}}=\sqrt{2-\sqrt3}\quad(k=4)
详细分析

当 k=4k=4 时交换两种边长,再对 k=2k=2 的结果作相似缩放。条件变为 1/a<2+31/a<\sqrt{2+\sqrt3},等价于 a>1/2+3=2−3a>1/\sqrt{2+\sqrt3}=\sqrt{2-\sqrt3}。严格不等号排除了共面退化四面体。