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第3题

对每个 k=1,2,3,4,5k=1,2,3,4,5,求 a>0a>0 的必要充分条件,使得存在一个四面体,其中 kk 条边长为 aa,其余 6−k6-k 条边长为 11。
第 4/5 步：构造三条长边
上一步下一步
通俗地说

对三条特殊边,可让它们组成一个面,也可让它们从顶点伸出;两种构造互相补足。

k=3:0<a<3 or a>13;(0,∞)=(0,3)∪(13,∞)k=3:\quad 0<a<\sqrt3\ \text{or}\ a>\frac1{\sqrt3};\qquad (0,\infty)=(0,\sqrt3)\cup\left(\frac1{\sqrt3},\infty\right)
详细分析

当 a≤1a\le1 时,令三条 aa 边组成一个面;第四个顶点能位于该面外的条件正是 a<3a<\sqrt3。当 a≥1a\ge1 时,令三条单位边组成一个面,再用三条 aa 边把其顶点连接到第四顶点;当 a>1/3a>1/\sqrt3 时可行。两个范围有重叠,覆盖全部 a>0a>0（a=1a=1 时为正四面体）。