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第4题

以 ABAB 为直径作半圆弧 γ\gamma。取弧上异于 A,BA,B 的点 CC,令 DD 为从 CC 到 ABAB 的垂足。三个圆 γ1,γ2,γ3\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3 都与直线 ABAB 相切;其中 γ1\gamma_1 是三角形 ABCABC 的内切圆,γ2\gamma_2 和 γ3\gamma_3 与 CDCD 和 γ\gamma 相切,并分别位于 CDCD 两侧。证明这三个圆还有另一条公共切线。
第 1/4 步：记录内切圆数据
上一步下一步
通俗地说

直角使通常的切线长度公式变得特别简单。

AB=c,BC=a,CA=b,r1=a+b−c2,AP=b+c−a2AB=c,\quad BC=a,\quad CA=b,\quad r_1=\frac{a+b-c}{2},\quad AP=\frac{b+c-a}{2}
详细分析

由于 ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ,由内切圆的切线段相等得到 r1=(a+b−c)/2r_1=(a+b-c)/2。若 PP 是它与 ABAB 的切点,则由点 AA 引出的两条切线相等,得 AP=(b+c−a)/2AP=(b+c-a)/2。