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第4题

以 ABAB 为直径作半圆弧 γ\gamma。取弧上异于 A,BA,B 的点 CC,令 DD 为从 CC 到 ABAB 的垂足。三个圆 γ1,γ2,γ3\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3 都与直线 ABAB 相切;其中 γ1\gamma_1 是三角形 ABCABC 的内切圆,γ2\gamma_2 和 γ3\gamma_3 与 CDCD 和 γ\gamma 相切,并分别位于 CDCD 两侧。证明这三个圆还有另一条公共切线。
第 2/4 步：计算两个辅助圆半径
上一步下一步
通俗地说

半圆提供了共同的直角三角形关系,所以两个半径由两条直角边 a,ba,b 控制。

r2=a−a2c,r3=b−b2c,r2+r3=a+b−c=2r1r_2=a-\frac{a^2}{c},\qquad r_3=b-\frac{b^2}{c},\qquad r_2+r_3=a+b-c=2r_1
详细分析

设 X,YX,Y 为 γ2,γ3\gamma_2,\gamma_3 与 ABAB 的切点。利用半圆构成的直角三角形计算得 r2=a−a2/cr_2=a-a^2/c;对称地 r3=b−b2/cr_3=b-b^2/c。由于 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2,两者之和化为 a+b−c=2r1a+b-c=2r_1。