MathLabs

第4题

以 ABAB 为直径作半圆弧 γ\gamma。取弧上异于 A,BA,B 的点 CC,令 DD 为从 CC 到 ABAB 的垂足。三个圆 γ1,γ2,γ3\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3 都与直线 ABAB 相切;其中 γ1\gamma_1 是三角形 ABCABC 的内切圆,γ2\gamma_2 和 γ3\gamma_3 与 CDCD 和 γ\gamma 相切,并分别位于 CDCD 两侧。证明这三个圆还有另一条公共切线。
第 4/4 步：反射已知切线
上一步下一步
通俗地说

经过两个圆心中点的直线反射会交换两个圆并保持中间的圆,因而自动产生第二条切线。

O1∈O2O3,O1P=r1,O2X=r2,O3Y=r3,O1 is the midpoint of O2O3O_1\in O_2O_3,\qquad O_1P=r_1,\qquad O_2X=r_2,\qquad O_3Y=r_3,\qquad O_1\text{ is the midpoint of }O_2O_3
详细分析

三个圆心分别位于过相应底边切点且垂直于 ABAB 的直线上。由于 PP 是 XYXY 的中点且 r2+r3=2r1r_2+r_3=2r_1,圆心 O1O_1 是 O2O3O_2O_3 的中点。将公共切线 ABAB 关于直线 O2O3O_2O_3 反射;反射保持相切关系,所以所得直线是三个圆的第二条公共切线。