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国际数学奥林匹克
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1969年
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第5题
第5题
给定平面上
n
>
4
n>4
n
>
4
个点且任意三点不共线。证明:以这些点为顶点的凸四边形至少有
(
n
−
3
2
)
\binom{n-3}{2}
(
2
n
−
3
)
个。
第 5/6 步：与目标比较
上一步
下一步
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
120
≥
(
n
−
3
)
(
n
−
4
)
2
\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{120}\ge\frac{(n-3)(n-4)}2
120
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
≥
2
(
n
−
3
)
(
n
−
4
)
详细分析
约去正因子
n
−
3
n-3
n
−
3
后,这等价于
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
≥
60
(
n
−
4
)
n(n-1)(n-2)\ge60(n-4)
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
≥
60
(
n
−
4
)
。
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