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第5题

给定平面上 n>4n>4 个点且任意三点不共线。证明:以这些点为顶点的凸四边形至少有 (n−32)\binom{n-3}{2} 个。
第 6/6 步:因式分解并结束
n(n−1)(n−2)−60(n−4)=(n−5)(n−6)(n+8)≥0n(n-1)(n-2)-60(n-4)=(n-5)(n-6)(n+8)\ge0
详细分析

当 n≥5n\ge5 时该乘积非负:在 5≤n≤65\le n\le6 区间内非负且端点为零,而 n≥6n\ge6 时各因子符号合适。因此 Q≥(n−32)Q\ge\binom{n-3}{2}。