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第6题

对于满足 x1>0x_1>0、x2>0x_2>0、x1y1>z12x_1y_1>z_1^2 及 x2y2>z22x_2y_2>z_2^2 的实数 x1,x2,y1,y2,z1,z2x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2,证明 8(x1+x2)(y1+y2)−(z1+z2)2≤1x1y1−z12+1x2y2−z22\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2}。求等号成立的充要条件。
第 1/8 步：定义正行列式
上一步下一步
ai=xiyi−zi2>0(i=1,2)a_i=x_iy_i-z_i^2>0\quad(i=1,2)
详细分析

令 a1=x1y1−z12a_1=x_1y_1-z_1^2、a2=x2y2−z22a_2=x_2y_2-z_2^2。由假设 a1,a2>0a_1,a_2>0。又因 xi>0x_i>0 且 xiyi>zi2≥0x_iy_i>z_i^2\ge0,故 y1,y2>0y_1,y_2>0。