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国际数学奥林匹克
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1969年
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第6题
第6题
对于满足
x
1
>
0
x_1>0
x
1
>
0
、
x
2
>
0
x_2>0
x
2
>
0
、
x
1
y
1
>
z
1
2
x_1y_1>z_1^2
x
1
y
1
>
z
1
2
及
x
2
y
2
>
z
2
2
x_2y_2>z_2^2
x
2
y
2
>
z
2
2
的实数
x
1
,
x
2
,
y
1
,
y
2
,
z
1
,
z
2
x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2
x
1
,
x
2
,
y
1
,
y
2
,
z
1
,
z
2
,证明
8
(
x
1
+
x
2
)
(
y
1
+
y
2
)
−
(
z
1
+
z
2
)
2
≤
1
x
1
y
1
−
z
1
2
+
1
x
2
y
2
−
z
2
2
\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2}
(
x
1
+
x
2
)
(
y
1
+
y
2
)
−
(
z
1
+
z
2
)
2
8
≤
x
1
y
1
−
z
1
2
1
+
x
2
y
2
−
z
2
2
1
。求等号成立的充要条件。
第 3/8 步：应用加权均值不等式
上一步
下一步
2
a
1
a
2
≤
a
1
y
2
y
1
+
a
2
y
1
y
2
2\sqrt{a_1a_2}\le a_1\frac{y_2}{y_1}+a_2\frac{y_1}{y_2}
2
a
1
a
2
≤
a
1
y
1
y
2
+
a
2
y
2
y
1
详细分析
对
a
1
y
2
/
y
1
a_1y_2/y_1
a
1
y
2
/
y
1
与
a
2
y
1
/
y
2
a_2y_1/y_2
a
2
y
1
/
y
2
应用均值不等式。它们的乘积为
a
1
a
2
a_1a_2
a
1
a
2
,故得上式。
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