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第6题

对于满足 x1>0x_1>0、x2>0x_2>0、x1y1>z12x_1y_1>z_1^2 及 x2y2>z22x_2y_2>z_2^2 的实数 x1,x2,y1,y2,z1,z2x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2,证明 8(x1+x2)(y1+y2)−(z1+z2)2≤1x1y1−z12+1x2y2−z22\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2}。求等号成立的充要条件。
第 4/8 步：使用非负平方
上一步下一步
2z1z2≤z12y2y1+z22y1y22z_1z_2\le z_1^2\frac{y_2}{y_1}+z_2^2\frac{y_1}{y_2}
详细分析

因 y1,y2>0y_1,y_2>0,平方 y1y2(z1/y1−z2/y2)2y_1y_2(z_1/y_1-z_2/y_2)^2 非负。展开即得上式。