第6题

对于满足

x_1>0

、

x_2>0

、

x_1y_1>z_1^2

及

x_2y_2>z_2^2

的实数

x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2

,证明

\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2}

。求等号成立的充要条件。

第 7/8 步：构造左侧分母

上一步下一步

4a_1a_2\le(a_1+a_2)C,\quad 4a_1a_2\le(a_1+a_2)^2\quad\Longrightarrow\quad 8a_1a_2\le(a_1+a_2)(C+a_1+a_2)=A(a_1+a_2),\quad C=x_1y_2+x_2y_1-2z_1z_2

详细分析

将第6步与等价于 $(a_1-a_2)^2\ge0$ 的 $4a_1a_2\le(a_1+a_2)^2$ 结合。令 $C=x_1y_2+x_2y_1-2z_1z_2$ 、 $A=C+a_1+a_2$ ;由第6步有 $4a_1a_2\le(a_1+a_2)C$ 。将两不等式相加得到 $8a_1a_2\le A(a_1+a_2)$ 。