第6题

对于满足

x_1>0

、

x_2>0

、

x_1y_1>z_1^2

及

x_2y_2>z_2^2

的实数

x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2

,证明

\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2}

。求等号成立的充要条件。

第 8/8 步：相除并刻画等号

上一步下一步

\frac8A\le\frac1{a_1}+\frac1{a_2},\quad x_1=x_2,\ y_1=y_2,\ z_1=z_2

详细分析

由第5步, $C=x_1y_2+x_2y_1-2z_1z_2\ge2\sqrt{a_1a_2}$ ,故 $A=C+a_1+a_2\ge a_1+a_2+2\sqrt{a_1a_2}>0$ 。因此 $Aa_1a_2>0$ ,相除即得所求不等式。各步均取等号需 $a_1=a_2$ 、 $y_1=y_2$ 、 $z_1/y_1=z_2/y_2$ ,从而 $z_1=z_2$ 且 $x_1=x_2$ 。反之这些等式使每步均取等号。