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第1题

设点 OO 在线 ll 上。向量 OP1→,…,OPn→\overrightarrow{OP_1},\ldots,\overrightarrow{OP_n} 都是单位向量,点 PiP_i 与直线 ll 共面,且所有 PiP_i 都位于直线 ll 所确定的同一半平面内。证明当 nn 为奇数时,∣∑i=1nOPi→∣≥1\left|\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OP_i}\right|\ge 1。
第 2/4 步:排列方向
通俗地说

去掉两个最外方向后,剩下奇数个中间向量。

n=2m+1n=2m+1
详细分析

按公共半平面中的角度排列向量。令 u=OP1→+OPn→u=\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_n},v=∑i=2n−1OPi→v=\sum_{i=2}^{n-1}\overrightarrow{OP_i}。中间部分有 n−2=2m−1n-2=2m-1 个向量。