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第1题

设点 OO 在线 ll 上。向量 OP1→,…,OPn→\overrightarrow{OP_1},\ldots,\overrightarrow{OP_n} 都是单位向量，点 PiP_i 与直线 ll 共面，且所有 PiP_i 都位于直线 ll 所确定的同一半平面内。证明当 nn 为奇数时，∣∑i=1nOPi→∣≥1\left|\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OP_i}\right|\ge 1。
第 3/4 步：角平分线估计
上一步下一步
通俗地说

角平分线朝向所有中间向量，而不是背离它们。

u⋅v≥0u\cdot v\ge 0
详细分析

uu 的方向是两个极端方向的角平分线。每个中间向量的方向位于两个极端方向之间，而它们的张角不超过 180∘180^\circ，所以该向量与 uu 的夹角不超过 90∘90^\circ。因此各内积与 uu 的内积都非负，从而 u⋅v≥0u\cdot v\ge0。若 u=0u=0，结论同样显然。