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第1题

设点 OO 在线 ll 上。向量 OP1→,…,OPn→\overrightarrow{OP_1},\ldots,\overrightarrow{OP_n} 都是单位向量，点 PiP_i 与直线 ll 共面，且所有 PiP_i 都位于直线 ll 所确定的同一半平面内。证明当 nn 为奇数时，∣∑i=1nOPi→∣≥1\left|\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OP_i}\right|\ge 1。
第 4/4 步：完成归纳
上一步下一步
通俗地说

加入极端向量后，已经足够大的中间和不会变短。

∣u+v∣2=∣u∣2+2u⋅v+∣v∣2≥∣v∣2≥1|u+v|^2=|u|^2+2u\cdot v+|v|^2\ge|v|^2\ge1
详细分析

由于中间部分的向量数为奇数，归纳假设给出 ∣v∣≥1|v|\ge1。由上式 ∣u+v∣≥∣v∣≥1|u+v|\ge|v|\ge1，得到所需结论。