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第3题

求实数 a,ba,b 使方程 x4+ax3+bx2+ax+1=0x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 至少有一个实根时 a2+b2a^2+b^2 的最小值。
第 4/5 步：先对 aa 再对 ∣y∣≥2|y|\ge2 优化
上一步下一步
通俗地说

对每个可能的根值 yy 先选择最佳系数 aa；剩下的一元表达式在边界 ∣y∣=2|y|=2 处取得最小值。

a=y(2−y2)1+y2,b=2−y21+y2,a2+b2=(y2−2)21+y2≥45a=\frac{y(2-y^2)}{1+y^2},\quad b=\frac{2-y^2}{1+y^2},\quad a^2+b^2=\frac{(y^2-2)^2}{1+y^2}\ge\frac45
详细分析

固定 yy 最小化 a2+(2−y2−ay)2a^2+(2-y^2-ay)^2 得到 a=y(2−y2)/(1+y2)a=y(2-y^2)/(1+y^2) 和 b=(2−y2)/(1+y2)b=(2-y^2)/(1+y^2)。代入即得所示表达式。令 t=y2≥4t=y^2\ge4；函数 (t−2)2/(t+1)(t-2)^2/(t+1) 在 t≥4t\ge4 上递增，因此至少为 (4−2)2/5=4/5(4-2)^2/5=4/5。