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国际数学奥林匹克
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1973年
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第3题
第3题
求实数
a
,
b
a,b
a
,
b
使方程
x
4
+
a
x
3
+
b
x
2
+
a
x
+
1
=
0
x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0
x
4
+
a
x
3
+
b
x
2
+
a
x
+
1
=
0
至少有一个实根时
a
2
+
b
2
a^2+b^2
a
2
+
b
2
的最小值。
第 5/5 步：验证等号
上一步
下一步
通俗地说
因式分解确认边界点确实可达到。
x
4
+
4
5
x
3
−
2
5
x
2
+
4
5
x
+
1
=
(
x
+
1
)
2
(
x
2
−
6
5
x
+
1
)
x^4+\frac45x^3-\frac25x^2+\frac45x+1=(x+1)^2(x^2-\frac65x+1)
x
4
+
5
4
x
3
−
5
2
x
2
+
5
4
x
+
1
=
(
x
+
1
)
2
(
x
2
−
5
6
x
+
1
)
详细分析
因式分解有实根
x
=
−
1
x=-1
x
=
−
1
，所以最小值确为
4
/
5
\boxed{4/5}
4/5
。
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