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第5题

令 GG 是所有形如 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R、f(x)=ax+bf(x)=ax+b（a,ba,b 为实数且 a≠0a\ne0）的非常值仿射函数组成的集合。假设 f,g∈Gf,g\in G 时 g∘f∈Gg\circ f\in G，每个 f∈Gf\in G 的逆函数 f−1f^{-1} 也属于 GG，且每个 f∈Gf\in G 都有不动点。证明存在一个 k∈Rk\in\mathbb R 被所有函数固定。
第 1/4 步：不动点与逆函数
上一步下一步
通俗地说

斜率为一的仿射映射只有在恒等时才有不动点。

f(x)=ax+b,f−1(x)=x/a−b/af(x)=ax+b, f^{-1}(x)=x/a-b/a
详细分析

若 a=1a=1，有不动点迫使 b=0b=0，故 ff 是恒等映射。若 a≠1a\ne1，其唯一不动点为 b/(1−a)b/(1-a)。