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第5题

令 GG 是所有形如 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R、f(x)=ax+bf(x)=ax+b（a,ba,b 为实数且 a≠0a\ne0）的非常值仿射函数组成的集合。假设 f,g∈Gf,g\in G 时 g∘f∈Gg\circ f\in G，每个 f∈Gf\in G 的逆函数 f−1f^{-1} 也属于 GG，且每个 f∈Gf\in G 都有不动点。证明存在一个 k∈Rk\in\mathbb R 被所有函数固定。
第 2/4 步：斜率相同则截距相同
上一步下一步
通俗地说

除非平移量为零，平移没有不动点。

f(x)=ax+b,g(x)=ax+b′f(x)=ax+b, g(x)=ax+b\prime
详细分析

对于两个斜率相同且非零的函数，aa 是平移 f−1∘gf^{-1}\circ g：x↦x+(b′−b)/ax\mapsto x+(b\prime-b)/a。它属于 GG 且有不动点，所以平移量为零，从而 b′=bb\prime=b。