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第5题

令 GG 是所有形如 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R、f(x)=ax+bf(x)=ax+b（a,ba,b 为实数且 a≠0a\ne0）的非常值仿射函数组成的集合。假设 f,g∈Gf,g\in G 时 g∘f∈Gg\circ f\in G，每个 f∈Gf\in G 的逆函数 f−1f^{-1} 也属于 GG，且每个 f∈Gf\in G 都有不动点。证明存在一个 k∈Rk\in\mathbb R 被所有函数固定。
第 4/4 步：公共不动点
上一步下一步
通俗地说

相同的不动点公式确定所有元素的一个公共点。

b1−a=d1−c\frac{b}{1-a}=\frac{d}{1-c}
详细分析

整理得 b(1−c)=d(1−a)b(1-c)=d(1-a)。若两个函数都不是恒等映射，则其不动点 b/(1−a)b/(1-a) 与 d/(1−c)d/(1-c) 相等。若其中一个是恒等映射，就取另一个的不动点；若二者都是恒等映射，任意 kk 都可以。因此每一对都有公共不动点；只要存在一个非恒等映射，取其不动点即可被 GG 中所有函数固定。