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第2题

设 P1(x)=x2−2P_1(x) = x^2 - 2，且对 Pj(x)=P1(Pj−1(x))P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))，定义 j=2,3,…j = 2, 3, \ldots。证明：对于任意正整数 nn，方程 Pn(x)=xP_n(x) = x 的所有根都为实数且两两不同。
第 1/6 步：代换并应用倍角公式
上一步下一步
通俗地说

映射 x↦x2−2x\mapsto x^2-2 本质上就是余弦倍角公式的伪装形式；识别出这一隐藏的三角结构，是使 P1P_1 的迭代变得易于处理的关键。

x=2cos⁡θ  ⟹  P1(x)=4cos⁡2θ−2=2cos⁡(2θ)x = 2\cos\theta \implies P_1(x) = 4\cos^2\theta - 2 = 2\cos(2\theta)
单位圆上角为 θ\theta 的点，其横坐标为 cos⁡θ\cos\theta
从正 $x$ 轴起与半径成角 $\theta$ 的单位圆，用以说明将倍角映射线性化所用的代换 $x=2\cos\theta$。
详细分析

设 x=2cos⁡θx=2\cos\theta。则 P1(x)=x2−2=4cos⁡2θ−2=2(2cos⁡2θ−1)=2cos⁡(2θ)P_1(x)=x^2-2=4\cos^2\theta-2=2(2\cos^2\theta-1)=2\cos(2\theta)，这里使用了倍角公式 cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1。