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第2题

设 P1(x)=x2−2P_1(x) = x^2 - 2，且对 Pj(x)=P1(Pj−1(x))P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))，定义 j=2,3,…j = 2, 3, \ldots。证明：对于任意正整数 nn，方程 Pn(x)=xP_n(x) = x 的所有根都为实数且两两不同。
第 2/6 步：归纳：代换使整个迭代线性化
上一步下一步
通俗地说

一旦看出 P1P_1 的一次迭代只是将角度加倍，迭代 nn 次就只是连续将角度加倍 nn 次——看似非线性的递推 x2−2x^2-2，其实是简单操作 θ↦2θ\theta\mapsto 2\theta 的伪装。

Pn(2cos⁡θ)=2cos⁡(2nθ)P_n(2\cos\theta) = 2\cos(2^n\theta)
详细分析

对 nn 进行归纳：以第 1 步为基础情形，在归纳步骤中有 Pn(2cos⁡θ)=P1(Pn−1(2cos⁡θ))=P1(2cos⁡(2n−1θ))=2cos⁡(2⋅2n−1θ)=2cos⁡(2nθ)P_{n}(2\cos\theta)=P_1\big(P_{n-1}(2\cos\theta)\big)=P_1\big(2\cos(2^{n-1}\theta)\big)=2\cos(2\cdot 2^{n-1}\theta)=2\cos(2^n\theta)，从而对每个 Pn(2cos⁡θ)=2cos⁡(2nθ)P_n(2\cos\theta)=2\cos(2^n\theta) 都有 n≥1n\ge1。