第2题

设

P_1(x) = x^2 - 2

，且对

P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))

，定义

j = 2, 3, \ldots

。证明：对于任意正整数

n

，方程

P_n(x) = x

的所有根都为实数且两两不同。

第 3/6 步：转化方程

P_n(x)=x

通俗地说

原本的代数不动点方程现在变成了纯粹的三角方程，可以用初等方法求解——这正是引入该代换的意义所在。

2\cos(2^n\theta) = 2\cos\theta \iff \cos(2^n\theta) = \cos\theta

详细分析

将 $x=2\cos\theta$ 代入 $P_n(x)=x$ ，并利用第 2 步，得到 $2\cos(2^n\theta)=2\cos\theta$ ，即 $\cos(2^n\theta)=\cos\theta$ 。